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  3. 已知常数k≥ln 2-l，证明：(x-1)(x-ln2x+2kln x-1)≥0．

已知常数k≥ln 2-l，证明：(x-1)(x-ln2x+2kln x-1)≥0．

admin2022-09-22  49
问题 已知常数k≥ln 2-l，证明：(x-1)(x-ln2x+2kln x-1)≥0．
选项
答案当x=1时，显然所证成立． 当x≠1时，令f(x)=x-ln2x+2k ln x-1(x＞0)，求导得 [*] 令g(x)=x-2ln x+2k，求导得 [*] 令g’(x)=0，得驻点x=2． ①当0＜x＜1时，g’(x)＜0．因此g(x)在(0，1)上单调递减，则 g(x)＞g(1)=1+2k≥1+2(ln 2-1)=2ln 2-1＞0． 因此f’(x)＞0，f(x)在(0，1)上单调递增，故f(x)＜f(1)=0． 在(0，1)上，由x-1＜0，f(x)＜0，可得 (x-1)(x-ln2x+2k ln x-1)＞0． ②当x＞1时，可知当1＜x＜2时，g’(x)＜0；当x＞2时，g’(x)＞0． 因此g(x)在(1，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，则 g(x)＞g(2)=2-2ln 2+2k≥2-2ln 2+2(ln 2-1)=0． 因此f’(x)＞0，f(x)在(1，+∞)上单调递增，故f(x)＞f(1)=0． 在(1，+∞)上，由x-1＞0，f(x)＞0，可得 (x-1)(x-ln2x+2k ln x-1)＞0． 综上所述，当x＞0时，不等式(x-1)(x-ln2x+2k ln x-1)≥0恒成立．
解析
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考研数学二

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