已知(x-1)y’’-xy’+y=0的一个解是y1=x，又知=ex-(x2+x+1)，y*=-x2-1均是(x-1)y’’-xy’+y=(x-1)2的解，则此方程的通解是y=_______．

admin2020-03-10 63

问题已知(x-1)y’’-xy’+y=0的一个解是y₁=x，又知

=e^x-(x²+x+1)，y^*=-x²-1均是(x-1)y’’-xy’+y=(x-1)²的解，则此方程的通解是y=_______．

选项

答案y=C₁x+C₂e²-x-1

解析由非齐次方程(x-1)y’’-xy’+y=(x-1)²的两个特解

与y^*可得它的相应齐次方程的另一特解

-y^*=e^x-x，事实上y₂=(e^x-x)+x=e^x也是该齐次方程的解，又e^x与x线性无关，因此该非齐次方程的通解是y=C₁x+C₂e²-x-1，其中C₁，C₂为任意常数．

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