已知(x-1)y’’-xy’+y=0的一个解是y1=x,又知=ex-(x2+x+1),y*=-x2-1均是(x-1)y’’-xy’+y=(x-1)2的解,则此方程的通解是y=_______.

admin2020-03-10  50

问题 已知(x-1)y’’-xy’+y=0的一个解是y1=x,又知=ex-(x2+x+1),y*=-x2-1均是(x-1)y’’-xy’+y=(x-1)2的解,则此方程的通解是y=_______.

选项

答案y=C1x+C2e2-x-1

解析 由非齐次方程(x-1)y’’-xy’+y=(x-1)2的两个特解与y*可得它的相应齐次方程的另一特解-y*=ex-x,事实上y2=(ex-x)+x=ex也是该齐次方程的解,又ex与x线性无关,因此该非齐次方程的通解是y=C1x+C2e2-x-1,其中C1,C2为任意常数.
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