设二次型f(x1，x2，x3)=(x1，x2，x3)，已知它的秩为1。 (Ⅰ)求a和二次型f(x1，x2，x3)的矩阵。 (Ⅱ)作正交变换将f(x1，x2，x3)化为标准二次型。

admin2018-11-16 79

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=(x₁，x₂，x₃)

，已知它的秩为1。
(Ⅰ)求a和二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵。
(Ⅱ)作正交变换将f(x₁，x₂，x₃)化为标准二次型。

选项

答案(Ⅰ)二次矩阵A=[*]，它的秩为1，则a=4； (Ⅱ)A=[*]的秩为1，则特征值为0，0，9。属于0的特征向量即AX=0的非零解，求出此方程组的一个基础解系：α₁=(0，1，1)^T，α₂=(2，0，1)^T，对它们作施密特正交化得[*]，再求得属于9的一个特征向量α₃=(1，2，-2)^T，作单位化得η₃=(1/3，2/3，-2/3)^T。令Q=(η₃，η₁，η₂)=[*]，则正交变换X=QY把原二次型化为9y₁²。

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x2，x3)=(x1，x2，x3)，已知它的秩为1。 (Ⅰ)求a和二次型f(x1，x2，x3)的矩阵。 (Ⅱ)作正交变换将f(x1，x2，x3)化为标准二次型。

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