设二次型f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3),已知它的秩为1。 (Ⅰ)求a和二次型f(x1,x2,x3)的矩阵。 (Ⅱ)作正交变换将f(x1,x2,x3)化为标准二次型。

admin2018-11-16  27

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3),已知它的秩为1。
(Ⅰ)求a和二次型f(x1,x2,x3)的矩阵。
(Ⅱ)作正交变换将f(x1,x2,x3)化为标准二次型。

选项

答案(Ⅰ)二次矩阵A=[*],它的秩为1,则a=4; (Ⅱ)A=[*]的秩为1,则特征值为0,0,9。属于0的特征向量即AX=0的非零解,求出此方程组的一个基础解系:α1=(0,1,1)T,α2=(2,0,1)T,对它们作施密特正交化得[*],再求得属于9的一个特征向量α3=(1,2,-2)T,作单位化得η3=(1/3,2/3,-2/3)T。令Q=(η3,η1,η2)=[*],则正交变换X=QY把原二次型化为9y12

解析
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