2. 考研
  3. (04年)设有向量α1＝(1，2，0)T，α2＝(1，a＋2，－3a)T，α3＝(－1，－b－2，a＋2b)T，β＝(1，3，－3)T．试讨论当a、b为何值时， (1)β不能由α1，α2，α3线性表示； (2)β可由α1，α2，α3惟一地线

(04年)设有向量α1＝(1，2，0)T，α2＝(1，a＋2，－3a)T，α3＝(－1，－b－2，a＋2b)T，β＝(1，3，－3)T．试讨论当a、b为何值时， (1)β不能由α1，α2，α3线性表示； (2)β可由α1，α2，α3惟一地线

admin2021-01-25  29
问题 (04年)设有向量α1＝(1，2，0)T，α2＝(1，a＋2，－3a)T，α3＝(－1，－b－2，a＋2b)T，β＝(1，3，－3)T．试讨论当a、b为何值时，
    (1)β不能由α1，α2，α3线性表示；
    (2)β可由α1，α2，α3惟一地线性表示，并求出表示式；
    (3)β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式．
选项
答案设有一组数χ1，χ2，χ3使得 χ1α1＋χ2α2＋χ3α3＝β (*) 对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换： [*] (1)当a＝0，b为任意常数时，有 [*] 可知r(A)≠r([*])，故方程组(*)无解，β不能由α1，α2，α3线性表示． (2)当a≠0，且a≠b时，r(A)＝r([*])＝3，方程组(*)有唯一解：χ1＝1－[*]，χ2＝[*]，χ3＝0．故此时β可由α1，α2，α3唯一地线性表示为：β＝[*] (3)当a＝b≠0时，对[*]施行初等行变换： [*] 可知r(A)＝r([*])＝2，故方程组(*)有无穷多解，通解为：χ1＝1－[*]，χ2＝[*]＋C，χ3＝C其中C为任意常数．故此时β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，其表示式为β＝[*]＋Cα3，其中C为任意常数．
解析
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考研数学三

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