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  3. [2014年] 设E为三阶单位矩阵． 求满足AB=E的所有矩阵B．

[2014年] 设E为三阶单位矩阵． 求满足AB=E的所有矩阵B．

admin2019-04-28  43
问题 [2014年]  设E为三阶单位矩阵．
求满足AB=E的所有矩阵B．
选项
答案因A不可逆，需用元素法求出满足AB=E的所有矩阵．由AB=E，A为3×4矩阵，E为3×3矩阵，则B必为4×3矩阵，设其元素为xij则B=(xij)4×3， [*] 即 [*] 因而得到下述三个线性方程组： [*] 对上述三方程组的增广矩阵用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵： [*] 由基础解系和特解的简便求法即得方程组①的一个特解η1及对应的齐次线性方程组的一个基础解系α分别为：η1=[2，－1，－1，0]T，α=[－1，2，3，1]T 于是该方程组的通解为 X1=[x11，x21，x31，x41]T=Y1+η1=k1α+η1=[－k1+2，2k1－1，3k1－1，k1]T． 同样由[*]可得方程组②的通解为 X2=[x12，x22，x32，x42]T=Y2+η2=k2α+η2=k2[－1，2，3，1]T+[6，－3，－4，0]T=[－k2+6，2k2－3，3k2－4，k2]T． 由[*]可得方程组③的通解为 X3=[x13，x23，x33，x43]T=Y3+η3+=k2=k3α+η3=k3[－1，2，3，1]T+[－1，1，1，0]T=[－k3－1，2k3+1，3k3+1，k3]T 综上得到， [*]
解析
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考研数学三

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