2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的x，y∈[a，b]，有｜f(x)－f(y)｜≤M｜x－y｜k． (1)证明：当k＞0时，f(x)在[a，b]上连续； (2)证明：当k＞1时，f(x)≡常数．

设f(x)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的x，y∈[a，b]，有｜f(x)－f(y)｜≤M｜x－y｜k． (1)证明：当k＞0时，f(x)在[a，b]上连续； (2)证明：当k＞1时，f(x)≡常数．

admin2017-12-31  46
问题 设f(x)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的x，y∈[a，b]，有｜f(x)－f(y)｜≤M｜x－y｜k．
(1)证明：当k＞0时，f(x)在[a，b]上连续；
(2)证明：当k＞1时，f(x)≡常数．
选项
答案(1)对任意的x0∈[a，b]，由已知条件得 0≤｜f(x)－f(x0)｜≤M｜x－x0｜k，[*]f(x)＝f(x0)， 再由x0的任意性得f(x)在[a,b]上连续． (2)对任意的x0∈[a，b]，因为k＞1， 所以0≤[*]≤M｜x－x0｜k－1，由夹逼定理得f’(x0)＝0，因为x0是任意一点，所以f’(x)≡0，故f(x)≡常数．
解析
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考研数学三

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