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设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,且f(a)=g(b)=0,g′(x)<0,试证明:存在ξ∈(a,b)使=0.
设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,且f(a)=g(b)=0,g′(x)<0,试证明:存在ξ∈(a,b)使=0.
admin
2019-09-27
60
问题
设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,且f(a)=g(b)=0,g′(x)<0,试证明:存在ξ∈(a,b)使
=0.
选项
答案
令φ(x)=f(x)∫
x
b
g(t)dt+g(x)∫
a
x
f(t)dt, 则φ(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,且 φ′(x)=[f′(x)∫
x
b
g(t)dt-f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g′(x)∫
a
x
f(t)dt] =f′(x)∫
x
b
g(t)dt+g′(x)∫
a
x
f(t)dt, 因为φ(a)=φ(b)=0,所以由罗尔定理,存在ξ∈(a,b)使φ′(ξ)=0,即 f′(ξ)∫
ξ
b
g(t)dt+g′(ξ)∫
a
ξ
f(t)dt=0, 由于g(b)=0及g′(x)<0,所以区间(a,b)内必有g(x)>0, 从而就有∫
x
b
g(t)dt>0,于是有[*]=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/I1S4777K
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考研数学一
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