设A，B均是n阶矩阵，证明AB与BA有相同的特征值．

admin2019-01-23 41

问题设A，B均是n阶矩阵，证明AB与BA有相同的特征值．

选项

答案设λ₀是AB的非零特征值，α₀是AB对应于λ₀的特征向量，即 (AB)α₀=λ₀α₀ (α₀≠0)．用B左乘上式，得BA(Bα₀)=λ₀Bα₀．下面需证Bα₀≠0(这样Bα₀就是矩阵BA对应于λ₀的特征向量)． (反证法) 如Bα₀=0，那么(AB)α₀=A(Bα₀)=0，这与(AB)α₀=λ₀α₀≠0相矛盾．所以，λ₀是BA的特征值．如λ₀=0是AB的特征值，则因｜0E－BA｜= ｜－BA｜=(－1)ⁿ｜B｜.｜A｜=(一1)ⁿ｜A｜.｜B｜=｜0E一AB｜，所以，λ₀=0也是BA的特征值．同样可证BA的特征值必是AB的特征值，所以AB与BA特征值相同．

解析

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