2. 考研
  3. (1)设A，B为n阶矩阵，｜λE－A｜＝｜λE－B｜且A，B都可相似对角化，证明：A～B． (2)设A＝，B＝，矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P-1AP＝B．

(1)设A，B为n阶矩阵，｜λE－A｜＝｜λE－B｜且A，B都可相似对角化，证明：A～B． (2)设A＝，B＝，矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P-1AP＝B．

admin2019-08-23  71
问题 (1)设A，B为n阶矩阵，｜λE－A｜＝｜λE－B｜且A，B都可相似对角化，证明：A～B．
    (2)设A＝，B＝，矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P-1AP＝B．
选项
答案(1)因为｜λE－A｜＝｜λE—B｜，所以A，B有相同的特征值，设为λ1，λ2，…，λn， 因为A，B可相似对角化，所以存在可逆矩阵P1，P2，使得 [*] 由P1-1AP1＝P2-1BP2得(P1P2-1)-1A(P1P2-1)＝B， 令P1P2-1＝P，则P-1AP＝B，即A～B． (2)由｜λE－A｜＝[*]＝(λ－1)2(λ－2)＝0 得A的特征值为λ1＝2，λ2＝λ3＝1； 由｜λE－B｜＝[*]＝(λ－1)2(λ－2)＝0得 B的特征值为λ1＝2，λ2＝λ3＝1． 由E－A＝[*]得r(E－A)＝1，即A可相似对角化； 再由E－B＝[*]得r(E－B)＝1，即B可相似对角化，故A～B． 由2E－A→[*]得A的属于λ1＝2的线性无关特征向量为α1＝[*]； 由E－A→[*]得 A的属于λ2＝λ3＝1的线性无关的特征向量为 [*] 由2E－B→[*]得B的属于λ1＝2的线性无关特征向量为β1＝[*]； 由E－B→[*]得 B的属于λ2＝λ3＝1的线性无关的特征向量为 [*] 再令P＝P1P2-1＝[*]，则P-1AP＝B．
解析
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考研数学二

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