(1)设A，B为n阶矩阵，｜λE－A｜＝｜λE－B｜且A，B都可相似对角化，证明：A～B． (2)设A＝，B＝，矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P-1AP＝B．

admin2019-08-23 75

问题 (1)设A，B为n阶矩阵，｜λE－A｜＝｜λE－B｜且A，B都可相似对角化，证明：A～B．
(2)设A＝

，B＝

，矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P^-1AP＝B．

选项

答案(1)因为｜λE－A｜＝｜λE—B｜，所以A，B有相同的特征值，设为λ₁，λ₂，…，λ_n，因为A，B可相似对角化，所以存在可逆矩阵P₁，P₂，使得 [*] 由P₁^-1AP₁＝P₂^-1BP₂得(P₁P₂^-1)^-1A(P₁P₂^-1)＝B，令P₁P₂^-1＝P，则P^-1AP＝B，即A～B． (2)由｜λE－A｜＝[*]＝(λ－1)²(λ－2)＝0 得A的特征值为λ₁＝2，λ₂＝λ₃＝1；由｜λE－B｜＝[*]＝(λ－1)²(λ－2)＝0得 B的特征值为λ₁＝2，λ₂＝λ₃＝1．由E－A＝[*]得r(E－A)＝1，即A可相似对角化；再由E－B＝[*]得r(E－B)＝1，即B可相似对角化，故A～B．由2E－A→[*]得A的属于λ₁＝2的线性无关特征向量为α₁＝[*]；由E－A→[*]得 A的属于λ₂＝λ₃＝1的线性无关的特征向量为 [*] 由2E－B→[*]得B的属于λ₁＝2的线性无关特征向量为β₁＝[*]；由E－B→[*]得 B的属于λ₂＝λ₃＝1的线性无关的特征向量为 [*] 再令P＝P₁P₂^-1＝[*]，则P^-1AP＝B．

解析

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考研数学二

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(1)设A，B为n阶矩阵，｜λE－A｜＝｜λE－B｜且A，B都可相似对角化，证明：A～B． (2)设A＝，B＝，矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P-1AP＝B．

考研数学二

已知问a为何值时，α4能由α1，α2，α3线性表出，并写出它的表出式．

设f(χ)＝(akcoskχ＋bksinkχ)，其中口ak，bk(k＝1，2，…，n)为常数．证明：(Ⅰ)f(χ)在[0，2π)必有两个相异的零点；(Ⅱ)f(m)(χ)在[0，2π)也必有两个相异的零点．

设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求：A的特征值和特征向量；

设f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且f"(x)≠0．证明：

设f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且f"(x)≠0．证明：对(-1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；

求证：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x，y)=1一=0下有最大值和最小值，且它们是方程k2一(Aa2+Cb2)k+(AC—B2)a2b2=0的根．

设A是3阶矩阵，λ1=1，λ2=2，λ3=3是A的特征值，对应的特征向量分别是又β=[1，2，3]T，计算：Anξ1；

设向量组线性相关，但任意两个向量线性无关．求参数t．

设A=E+ααT，其中α=(α1,α2,α3)T，且αTα=2，求A的特征值和特征向量．

福利国家的最初尝试起始于()

失笑散的功用是

喹诺酮类药物的抗菌机制是()。

患者上前牙龋充填后三天出现自发痛，不敢咬合。查：充填体，叩（++），松动I度，牙龈轻红肿，冷热测无反应，该患牙三天前处理中的问题最可能是

诊断自主性功能亢进性甲状腺腺瘤最佳的甲状腺检查是

监理工程师对施工图审核的重点是(　　)。

《危险性较大的分部分项工程安全管理办法》规定，施工单位应当在危险性较大的分部分项工程施工前编制专项方案。下述选项中属于专项方案施工安全保证措施的是()。

某企业收同货款25000元存入银行，记账凭证的记录为：“借：银行存款25800，贷：其他应收款25800”，并已登记入账。更正时需要做的会计分录包括()

城市社区与农村社区的主要区别。(中山大学2011年研)

根据婚姻法的明确规定，下列哪些人之间禁止结婚?()

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求证：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x，y)=1一=0下有最大值和最小值，且它们是方程k2一(Aa2+Cb2)k+(AC—B2)a2b2=0的根．

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设向量组线性相关，但任意两个向量线性无关．求参数t．

设A=E+ααT，其中α=(α1,α2,α3)T，且αTα=2，求A的特征值和特征向量．

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