2. 考研
  3. 设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2． 求A的特征值和特征向量；

设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2． 求A的特征值和特征向量；

admin2018-11-11  54
问题 设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2．
求A的特征值和特征向量；
选项
答案设 Aξ=(E+αβT)ξ=λξ． ① 两端左边乘βT， βT(E+αβT)ξ=(βT+βTαβT)ξ=(1+βTα)βTξ=λβTξ， 若βTξ≠0，则λ一1+βTα=3；若βTξ=0，则由①式得λ=1． 当λ=1时， [*] 即[b1，b2，…，bn]X=0，因αTβ=2，故α≠0，β≠0，设b1≠0，则 ξ1=[b2，一b1，0，…，0]T，ξ2=[b3，0，一b1，…，0]T，…，ξn-1=[bn，0，…，0，一b1]T， 即A的对应于特征值1的特征向量为k1ξ1+k2ξ2+…+kn-1ξn-1，k1，k2，…，kn-1为不全为零的常数； 当λ=3时， (3E-A)X=(2E-αβT)X=0， ξn=α一[a1，a2，…，an]T， 即A的对应于特征值3的特征向量为kn考n，kn为不为零的常数．
解析
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考研数学二

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