设P为可逆矩阵，A＝PTP．证明：A是正定矩阵．

admin2019-11-25 59

问题设P为可逆矩阵，A＝P^TP．证明：A是正定矩阵．

选项

答案显然A^T＝A，对任意的X≠0，X^TAX＝(PX)^T(PX)，因为X≠0且P可逆，所以PX≠0，于是X^TAX＝(PX)^T(PX)＝｜｜PX｜｜²＞0，即X^TAX为正定二次型，故A为正定矩阵．

解析

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考研数学三

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A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．
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