2. 考研
  3. 若A，B均为n阶矩阵，且A2=A，B2=B，r(A)=r(B)，证明：A，B必为相似矩阵．

若A，B均为n阶矩阵，且A2=A，B2=B，r(A)=r(B)，证明：A，B必为相似矩阵．

admin2018-09-20  83
问题 若A，B均为n阶矩阵，且A2=A，B2=B，r(A)=r(B)，证明：A，B必为相似矩阵．
选项
答案由A2=A，可知A的特征值为0或1，对应于0，1的线性无关的特征向量的个数分别为n-r(0.E—A)与n一r(1.E一A)． 又由于A2-A=O，即A(A—E)=O，则r(A)+r(A—E)≤n，于是A的线性无关的特征向量的总个数为 n一r(0.E一A)+n一r(1.E一A)=2n一[r(-A)+r(E一A)]≥2n-n=n， 故A有n个线性无关的特征向量，则A可相似对角化． 同理，B也可相似对角化，且由题设，r(A)=r(B)，可知A，B有完全相同的特征值，即A，B相似于同一对角矩阵．故A，B必相似．
解析
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考研数学三

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