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已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x21+(1-a)x22+2x23+2(1+a)x1x2的秩为2. 求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形;
已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x21+(1-a)x22+2x23+2(1+a)x1x2的秩为2. 求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形;
admin
2021-11-09
76
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(1-a)x
2
1
+(1-a)x
2
2
+2x
2
3
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2.
求正交变换x=Qy,把f(x
1
,x
2
,x
3
)化成标准形;
选项
答案
当a=0时, [*] 可知A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0. 对于λ
1
=λ
2
=2,解齐次线性方程组(2E-A)x=0,得A的属于λ
1
=λ
2
=2的线性无关的特征向量为 ξ
1
=(1,1,0)
T
,ξ
2
=(0,0,1)
T
. 对于λ
3
=0,解齐次线性方程组(-A)x=0,得A的属于λ
3
=0的线性无关的特征向量为 ξ
3
=(-1,1,0)
T
. 易见ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
两两正交,只需单位化,得 [*] 于是 [*] 则Q为正交矩阵.在正交变换x=Qy下,二次型的标准形为 f=2y
2
1
+2y
2
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/fqy4777K
0
考研数学二
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