设二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3，的负惯性指数为1，则a的取值范围是

admin2014-02-22 56

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²-x₂²+2ax₁x₃+4x₂x₃，的负惯性指数为1，则a的取值范围是

选项

答案-2≤a＜2

解析用配方法：
f(x₁，x₂，x₃) =x₁^{2-x₂²+2ax₁x₃+4x₂x₃
=(x₁+ax₃)²-(x₂-2x₃)²+(4-a²)x₃²．
由负惯性指数为1，得(4-a²)≥0，-2≤a≤2．
【解法二】此二次型的矩阵
设A的3个特征值按照大小顺序为λ₁≤λ₂≤λ₃．则λ₁+λ₂+λ₃=0．负惯性指数为1即λ₁＜0≤λ₂≤λ₃．则｜A｜≤0．反之，如果｜A｜＜0，则特征值一定是2正1负，如果｜A｜=0，则特征值一定1正1负1个0．于是负惯性指数为｜A｜≤0．计算出｜A｜=a²-4，得-2≤a＜2．}

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