(2016年)设函数f(x)连续，且满足∫0xf(x－t)dt=∫0x(x一t)f(t)dt+e－x一1，求f(x)．

admin2018-07-24 94

问题 (2016年)设函数f(x)连续，且满足∫₀^xf(x－t)dt=∫₀^x(x一t)f(t)dt+e^－x一1，求f(x)．

选项

答案令u=x－t，则∫₀^xf(x－t)dt=∫₀^xf(u)du 由题设∫₀^xf(u)du=x∫₀^xf(t)dt—∫₀^xtf(t)dt+e^－x一1，求导得 f(x)=∫₀^xf(t)dt—e^x，且f(0)=一1．因此 f’(x)一f(x)=e^－x，从而 f(x)=e^∫dx(C+∫e^－xe^－∮dxdx) [*]

解析

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考研数学三

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