(2016年)设函数f(x)连续，且满足∫0xf(x－t)dt=∫0x(x一t)f(t)dt+e－x一1，求f(x)．

admin2018-07-24 75

问题 (2016年)设函数f(x)连续，且满足∫₀^xf(x－t)dt=∫₀^x(x一t)f(t)dt+e^－x一1，求f(x)．

选项

答案令u=x－t，则∫₀^xf(x－t)dt=∫₀^xf(u)du 由题设∫₀^xf(u)du=x∫₀^xf(t)dt—∫₀^xtf(t)dt+e^－x一1，求导得 f(x)=∫₀^xf(t)dt—e^x，且f(0)=一1．因此 f’(x)一f(x)=e^－x，从而 f(x)=e^∫dx(C+∫e^－xe^－∮dxdx) [*]

解析

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考研数学三

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设0＜a＜1，证明：方程arctanx=ax在(0，+∞)内有且仅有一个实根．
设f(x)在[a，b]上满足|f"(x)|≤2，且f(x)在(a，b)内取到最小值．证明：|f’(a)I+|f’(b)|≤2(b一a)．
举例说明函数可导不一定连续可导．
(2006年)计算二重积分，其中D是由直线y=x，y=1，x=0围成的平面区域。
(2008年)已知f(x，y)=则()
(2017年)设随机变量为X，Y相互独立，且X的概率分布为P{X=0}=P{X=2}=，Y的概率密度为f(y)=(Ⅰ)求P{Y≤E(Y)}；(Ⅱ)求Z=X+Y的概率密度。
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