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  3. 设矩阵，A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵，且满足矩阵方程A*BA＝3BA－4E，则B＝＿＿＿＿＿＿＿＿。

设矩阵，A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵，且满足矩阵方程A*BA＝3BA－4E，则B＝＿＿＿＿＿＿＿＿。

admin2020-08-03  10
问题 设矩阵，A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵，且满足矩阵方程A*BA＝3BA－4E，则B＝＿＿＿＿＿＿＿＿。
选项
答案diag(1／3，－4／3，4／9)
解析 解一  应先将方程A*BA＝3BA－4E变形为
    A*BA－3BA＝－4E，
即    (A*－3E)BA＝－4E，
所以A*－3E，B，A均可逆。
    于是  B＝(A*－3E)－1(－4E)A－1＝－4(A*－3E)－1A－1
    ＝－4[A(A*－3E)]－1＝－4(｜A｜E－3A)－1＝－4(－6E－3A)－1
。
    解二  在原方程两端左乘A，利用
    AA*＝｜A｜E＝－6E，
得到    ＝6BA＝3ABA－4A。
    在上述等式两端右乘A－1得到
    －6B＝3AB－4E， 即(3A＋6E)B＝4E，
故＝4(3A＋6E)－1＝diag(1／3，－4／3，4／9)。
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考研数学一

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