设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e4πt2+，则f(t)_________．

admin2018-07-22 57

问题设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e^4πt²+

，则f(t)_________．

选项

答案(4πt²+1)e^4πt²

解析这是一个已知函数方程求函数问题．应先将二重积分化为积分上限函数，

则原方程化为

等式两边求导，得 f’(t)=8πte^4πt²+8πtf(t)，
即 f’(t)-8πtf(t)=8πte^4πt²，
这是一阶线性微分方程，其通解为
f(t)=e^-∫-8πtdt(∫8πte^4πtve^∫-8πtdtdt+C)=e^4πt²(4πt²+C)，
由题设条件知f(0)=1，代入上式得C=1，故f(t)=(4πt²+1)e^4πt²．

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