设f(x)二阶连续可导,且曲线积∫[3f’(x)-2f(x)+xe2x]ydx+f’(x)dy与路径无关,求f(x).

admin2018-05-21  24

问题 设f(x)二阶连续可导,且曲线积∫[3f’(x)-2f(x)+xe2x]ydx+f’(x)dy与路径无关,求f(x).

选项

答案因为曲线积分与路径无关,所以有 f"(x)=3f’(x)-2f(x)+xe2x,即f"(x)-3f’(x)+2f(x)=xe2x, 由特征方程λ2-3λ+2=0得λ1=1,λ2=2, 则方程f"(x)-3f’(x)+2f(x)=0的通解为f’(x)=C1ex+C2e2x, 令特解f0(x)=x(ax+b)e2x,代入原微分方程得a=1/2,b=-1, 故所求f(x)=C1ex+C1e2x+([*]-x)e2x

解析
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