2. 考研
  3. 在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn（xn+yn=1）。 （Ⅰ）求关系式中的矩阵A； （Ⅱ）设目前农村人口与城镇

在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn（xn+yn=1）。 （Ⅰ）求关系式中的矩阵A； （Ⅱ）设目前农村人口与城镇

admin2017-01-21  31
问题 在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn（xn+yn=1）。
（Ⅰ）求关系式中的矩阵A；
（Ⅱ）设目前农村人口与城镇人口相等，即
选项
答案（Ⅰ）由题意，人口迁移的规律不变 xx+1=xn+ qyn—pxn=（1—p）xn + qyn， yn+1=yn+ pxn—qyn=pxn+ （1—q）yn， 用矩阵表示为 [*] 得A的特征值为λ1=1，λ2=r，其中r=1—p—q。 当λ1=1时，解方程（A—E）x=0，得特征向量p1=[*] 当λ2=r时，解方程（A—rE）x=0，得特征向量p2=[*] 令P=（p1，p2）=[*] 则 P—1AP=[*]=Λ，A=PΛP—1，An=PΛnP—1。 于是 [*]
解析
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考研数学三

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