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设函数f(x)连续，且满足f(x)+J(x一2一t)f(t)dt=6(x一2)ex，求f(x)。
设函数f(x)连续，且满足f(x)+J(x一2一t)f(t)dt=6(x一2)ex，求f(x)。
admin
2022-09-14
67
问题
设函数f(x)连续，且满足f(x)+J(x一2一t)f(t)dt=6(x一2)e
x
，求f(x)。
选项
答案
由积分方程f(x)+∫
0
x
(x一2一t)f(t)dt=6(x一2)e
x
可知f(0)=一12。 由f(x)连续知上式中变上限积分可导，而初等函数6(x一2)e
x
是可导的，所以f(x)也可导。在方程两边对x求导得 f’(x)+∫
0
x
f(t)dt一2f(x)=6(x一1)e
x
，且f’(0)=一30。 同理可知f(x)二次可导，上式两端对x求导得 f"(x)一2f’(x)+f(x)=6xe
x
。 该二阶常系数线性微分方程的特征方程是λ
2
一2λ+1=0，故特征根是1(二重)，于是对应的齐次方程的通解为F(x)=(C
1
+C
2
x)e
x
。因非齐次项Q(x)=6xe
x
，可设非齐次方程的一个特解为f
*
(x)=(Ax+B)x
2
e
x
，代入f"(x)一2f’(x)+f(x)=6xe
x
可求得A=1，B=0，从而原方程的解为f(x)=(C
1
+C
2
x+x
3
)e
x
。 利用初值条件f(0)=一12，f’(0)=一30可得C
1
=一12，C
2
=一18，故 f(x)=(x
3
一18x一12)e
x
。
解析
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0
考研数学二
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