设函数f(x)连续，且满足f(x)+J(x一2一t)f(t)dt=6(x一2)ex，求f(x)。

admin2022-09-14 89

问题设函数f(x)连续，且满足f(x)+J(x一2一t)f(t)dt=6(x一2)e^x，求f(x)。

选项

答案由积分方程f(x)+∫₀^x(x一2一t)f(t)dt=6(x一2)e^x可知f(0)=一12。由f(x)连续知上式中变上限积分可导，而初等函数6(x一2)e^x是可导的，所以f(x)也可导。在方程两边对x求导得 f’(x)+∫₀^xf(t)dt一2f(x)=6(x一1)e^x，且f’(0)=一30。同理可知f(x)二次可导，上式两端对x求导得 f"(x)一2f’(x)+f(x)=6xe^x。该二阶常系数线性微分方程的特征方程是λ²一2λ+1=0，故特征根是1(二重)，于是对应的齐次方程的通解为F(x)=(C₁+C₂x)e^x。因非齐次项Q(x)=6xe^x，可设非齐次方程的一个特解为f^*(x)=(Ax+B)x²e^x，代入f"(x)一2f’(x)+f(x)=6xe^x可求得A=1，B=0，从而原方程的解为f(x)=(C₁+C₂x+x³)e^x。利用初值条件f(0)=一12，f’(0)=一30可得C₁=一12，C₂=一18，故 f(x)=(x³一18x一12)e^x。

解析

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考研数学二

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向量组α1=(1，—1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α3=(3，0，7，a)T，α4=(1，—2，2，0)T线性无关，则未知数a的取值范围是__________。

∫0χχsin(χ－t)2dt＝_______．

设f(x)有一个原函数=___________．

设A是n阶可逆矩阵，A是A的特征值，则(A*)2＋E必有特征值_______．

已知三维向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组α1一α2，α2-kα3，α3一α1也线性无关的充要条件是k_________．

设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为____________.

三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22-2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=，求此二次型．

设X1，X2分别为A的属于不同特征值λ1，λ2的特征向量．证明：X1＋X2不是A的特征向量．

喷砂抛光机的工作气源压力是

原发性支气管肺癌早期最常见的表现是

A、对氨基酚B、其他甾体C、有关物质D、罂粟酸E、中性或碱性物质盐酸吗啡中的特殊杂质为（　　）。

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面层材料为沥青贯人式碎石的次干路、支路的使用年限是()年。

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