设函数f(x)连续,且满足f(x)+J(x一2一t)f(t)dt=6(x一2)ex,求f(x)。

admin2022-09-14  47

问题 设函数f(x)连续,且满足f(x)+J(x一2一t)f(t)dt=6(x一2)ex,求f(x)。

选项

答案由积分方程f(x)+∫0x(x一2一t)f(t)dt=6(x一2)ex可知f(0)=一12。 由f(x)连续知上式中变上限积分可导,而初等函数6(x一2)ex是可导的,所以f(x)也可导。在方程两边对x求导得 f’(x)+∫0xf(t)dt一2f(x)=6(x一1)ex,且f’(0)=一30。 同理可知f(x)二次可导,上式两端对x求导得 f"(x)一2f’(x)+f(x)=6xex。 该二阶常系数线性微分方程的特征方程是λ2一2λ+1=0,故特征根是1(二重),于是对应的齐次方程的通解为F(x)=(C1+C2x)ex。因非齐次项Q(x)=6xex,可设非齐次方程的一个特解为f*(x)=(Ax+B)x2ex,代入f"(x)一2f’(x)+f(x)=6xex可求得A=1,B=0,从而原方程的解为f(x)=(C1+C2x+x3)ex。 利用初值条件f(0)=一12,f’(0)=一30可得C1=一12,C2=一18,故 f(x)=(x3一18x一12)ex

解析
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