设A为n阶非零矩阵，A是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，证明当AT=A时，A可逆．

admin2021-02-25 29

问题设A为n阶非零矩阵，A^*是A的伴随矩阵，A^T是A的转置矩阵，证明当A^T=A^*时，A可逆．

选项

答案证法1：由A^T=A^*知A_ij=a_ij，其中A_ij是a_ij的代数余子式，于是 [*] 又因A≠0，所以至少有一元素a_ij≠0，故｜A｜≠0．从而A可逆．证法2：由AA^*=｜A｜E及A^T=A^*知AA^*=AA^T=｜A｜E，若｜A｜=0，则有AA^T=O．设A的行向量为α_i(i=1，2，…，n)，则α_iα_i^T=0，即α_i=0，于是A=O，这与A是非零矩阵矛盾，故｜A｜≠0，从而A可逆．

解析本题考查伴随矩阵A^*的构成，证明A可逆，只需证明｜A｜≠0即可．

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