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设A为n阶非零矩阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,证明当AT=A*时,A可逆.
设A为n阶非零矩阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,证明当AT=A*时,A可逆.
admin
2021-02-25
40
问题
设A为n阶非零矩阵,A
*
是A的伴随矩阵,A
T
是A的转置矩阵,证明当A
T
=A
*
时,A可逆.
选项
答案
证法1:由A
T
=A
*
知A
ij
=a
ij
,其中A
ij
是a
ij
的代数余子式,于是 [*] 又因A≠0,所以至少有一元素a
ij
≠0,故|A|≠0.从而A可逆. 证法2:由AA
*
=|A|E及A
T
=A
*
知AA
*
=AA
T
=|A|E,若|A|=0,则有AA
T
=O.设A的行向量为α
i
(i=1,2,…,n),则α
i
α
i
T
=0,即α
i
=0,于是A=O,这与A是非零矩阵矛盾,故|A|≠0,从而A可逆.
解析
本题考查伴随矩阵A
*
的构成,证明A可逆,只需证明|A|≠0即可.
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考研数学二
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