2. 考研
  3. 设A为n阶非零矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，证明当AT=A*时，A可逆．

设A为n阶非零矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，证明当AT=A*时，A可逆．

admin2021-02-25  37
问题 设A为n阶非零矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，证明当AT=A*时，A可逆．
选项
答案证法1：由AT=A*知Aij=aij，其中Aij是aij的代数余子式，于是 [*] 又因A≠0，所以至少有一元素aij≠0，故｜A｜≠0．从而A可逆． 证法2：由AA*=｜A｜E及AT=A*知AA*=AAT=｜A｜E，若｜A｜=0，则有AAT=O．设A的行向量为αi(i=1，2，…，n)，则αiαiT=0，即αi=0，于是A=O，这与A是非零矩阵矛盾，故｜A｜≠0，从而A可逆．
解析 本题考查伴随矩阵A*的构成，证明A可逆，只需证明｜A｜≠0即可．
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考研数学二

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