2. 考研
  3. 求下列积分： (Ⅰ)设f(x)=∫1xe-y2dy，求∫01x2f(x)dx； (Ⅱ)设函数f(x)在[0，1]连续且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy．

求下列积分： (Ⅰ)设f(x)=∫1xe-y2dy，求∫01x2f(x)dx； (Ⅱ)设函数f(x)在[0，1]连续且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy．

admin2018-06-27  99
问题 求下列积分：
(Ⅰ)设f(x)=∫1xe-y2dy，求∫01x2f(x)dx；
(Ⅱ)设函数f(x)在[0，1]连续且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy．
选项
答案(Ⅰ)∫01x2f(x)dx=[*]∫01f(x)dx3=[*]x3f(x)｜01-[*]∫01x3df(x) =[*]∫01x3e-x2dx =[*]∫01x2de-x2 =[*]x2e-x2｜1-[*]∫01e-x2dx2 =[*]e-1+[*]e-x2｜01=[*] (Ⅱ)令φ(c)=∫x1f(y)dy，则φ’(x)=-f(x)，于是 ∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01[∫x1f(y)dy]f(x)dx =-∫01φ(x)dφ(x)=[*]φ2(x)｜01=[*]A2．
解析 该例中的两个小题均是求形如∫ab[f(x)∫axg(y)dy]dx的积分，它可看作区域D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤x}上一个二重积分的累次积分，有时通过交换积分次序而求得它的值．作为定积分，若f(x)的原函数易求得F’(x)=f(x)，则可由分部积分法得
∫ab[f(x)∫abg(y)dy]dx=∫ab[∫abg(y)dy]dF(x)=[F(x)∫abg(y)dy]｜ab-∫abF(x)g(x)dx．
若右端易求，则可求得左端的值．
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考研数学二

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