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求下列积分: (Ⅰ)设f(x)=∫1xe-y2dy,求∫01x2f(x)dx; (Ⅱ)设函数f(x)在[0,1]连续且∫01f(x)dx=A,求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy.
求下列积分: (Ⅰ)设f(x)=∫1xe-y2dy,求∫01x2f(x)dx; (Ⅱ)设函数f(x)在[0,1]连续且∫01f(x)dx=A,求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy.
admin
2018-06-27
50
问题
求下列积分:
(Ⅰ)设f(x)=∫
1
x
e
-y
2
dy,求∫
0
1
x
2
f(x)dx;
(Ⅱ)设函数f(x)在[0,1]连续且∫
0
1
f(x)dx=A,求∫
0
1
dx∫
x
1
f(x)f(y)dy.
选项
答案
(Ⅰ)∫
0
1
x
2
f(x)dx=[*]∫
0
1
f(x)dx
3
=[*]x
3
f(x)|
0
1
-[*]∫
0
1
x
3
df(x) =[*]∫
0
1
x
3
e
-x
2
dx =[*]∫
0
1
x
2
de
-x
2
=[*]x
2
e
-x
2
|
1
-[*]∫
0
1
e
-x
2
dx
2
=[*]e
-1
+[*]e
-x
2
|
0
1
=[*] (Ⅱ)令φ(c)=∫
x
1
f(y)dy,则φ’(x)=-f(x),于是 ∫
0
1
dx∫
x
1
f(x)f(y)dy=∫
0
1
[∫
x
1
f(y)dy]f(x)dx =-∫
0
1
φ(x)dφ(x)=[*]φ
2
(x)|
0
1
=[*]A
2
.
解析
该例中的两个小题均是求形如∫
a
b
[f(x)∫
a
x
g(y)dy]dx的积分,它可看作区域D={(x,y)|a≤x≤b,a≤y≤x}上一个二重积分的累次积分,有时通过交换积分次序而求得它的值.作为定积分,若f(x)的原函数易求得F’(x)=f(x),则可由分部积分法得
∫
a
b
[f(x)∫
a
b
g(y)dy]dx=∫
a
b
[∫
a
b
g(y)dy]dF(x)=[F(x)∫
a
b
g(y)dy]|
a
b
-∫
a
b
F(x)g(x)dx.
若右端易求,则可求得左端的值.
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