设f(x)在(0,+∞)上有定义,且f’(1)=a(≠0),又对任意x,y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y),则f(x)= _____________________。

admin2019-01-15  42

问题 设f(x)在(0,+∞)上有定义,且f(1)=a(≠0),又对任意x,y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y),则f(x)= _____________________。

选项

答案aInx

解析 在等式f(xy)=f(x)+f(y)中,令y=1,得f(x)=f(x)+f(1),则f(1)=0,根据导数的定义,取xy为增量,则

因为f(1)=a,所以,故f(x)=aInx+C,其中C为任意常数。令x=1,于是f(1)=aIn1+C=0,得C=0,因此f(x)=aInx。
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