已知以2π为周期的周期函数f(x)在(－∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx－1)2f(x)，证明=x0∈(2π，)使得F″(x0)=0．

admin2018-04-15 59

问题已知以2π为周期的周期函数f(x)在(－∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx－1)²f(x)，证明

=x₀∈(2π，

)使得F″(x₀)=0．

选项

答案显然F(0)=F[*]=0，于是由罗尔定理知，[*]x₁∈(0，[*])，使得F′(x₁)=0．又 F′(x)=2(sinx一1)f(x)+(8inx一1)²f′(x)， [*] 对F′(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在x₀^*∈(x₁，[*])，使得F″(x₀^*)=0．注意到F(x)以2π为周期，F′(x)与F″(x)均为以2π为周期的周期函数，于是[*]x₀=2π+x₀^*，即 x₀∈(2π，[*])，使得 F″(x₀)=F″(x₀^*)=0．

解析首先，因f(x)是周期为2π的周期函数，则F(x)也必为周期函数，且周期为2π，于是只需证明

，使得F″(x₀^*)=0即可．

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考研数学一

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已知以2π为周期的周期函数f(x)在(－∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx－1)2f(x)，证明=x0∈(2π，)使得F″(x0)=0．

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