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已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶导数,且f(0)=0.设F(x)=(sinx-1)2f(x),证明=x0∈(2π,)使得F″(x0)=0.
已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶导数,且f(0)=0.设F(x)=(sinx-1)2f(x),证明=x0∈(2π,)使得F″(x0)=0.
admin
2018-04-15
34
问题
已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶导数,且f(0)=0.设F(x)=(sinx-1)
2
f(x),证明
=x
0
∈(2π,
)使得F″(x
0
)=0.
选项
答案
显然F(0)=F[*]=0,于是由罗尔定理知,[*]x
1
∈(0,[*]),使得F′(x
1
)=0.又 F′(x)=2(sinx一1)f(x)+(8inx一1)
2
f′(x), [*] 对F′(x)应用罗尔定理,由于F(x)二阶可导,则存在x
0
*
∈(x
1
,[*]),使得F″(x
0
*
)=0. 注意到F(x)以2π为周期,F′(x)与F″(x)均为以2π为周期的周期函数,于是[*]x
0
=2π+x
0
*
,即 x
0
∈(2π,[*]),使得 F″(x
0
)=F″(x
0
*
)=0.
解析
首先,因f(x)是周期为2π的周期函数,则F(x)也必为周期函数,且周期为2π,于是只需证明
,使得F″(x
0
*
)=0即可.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Iir4777K
0
考研数学一
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