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  3. 已知以2π为周期的周期函数f(x)在(－∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx－1)2f(x)，证明=x0∈(2π，)使得F″(x0)=0．

已知以2π为周期的周期函数f(x)在(－∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx－1)2f(x)，证明=x0∈(2π，)使得F″(x0)=0．

admin2018-04-15  15
问题 已知以2π为周期的周期函数f(x)在(－∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx－1)2f(x)，证明=x0∈(2π，)使得F″(x0)=0．
选项
答案显然F(0)=F[*]=0，于是由罗尔定理知，[*]x1∈(0，[*])，使得F′(x1)=0．又 F′(x)=2(sinx一1)f(x)+(8inx一1)2f′(x)， [*] 对F′(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在x0*∈(x1，[*])，使得F″(x0*)=0． 注意到F(x)以2π为周期，F′(x)与F″(x)均为以2π为周期的周期函数，于是[*]x0=2π+x0*，即 x0∈(2π，[*])，使得 F″(x0)=F″(x0*)=0．
解析 首先，因f(x)是周期为2π的周期函数，则F(x)也必为周期函数，且周期为2π，于是只需证明，使得F″(x0*)=0即可．
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