设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0，证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(1+ξ2)arctanξ·f′(ξ)=一1．

admin2020-05-02 48

问题设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且

f(1)=0，证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(1+ξ²)arctanξ·f′(ξ)=一1．

选项

答案令F(x)=e^f(x)arctanx，则由已知条件f(1)=0，得 [*] 又由积分中值定理，存在一点[*]使得 [*] 即 [*] 显然F(x)在区间[x₀，1]上满足罗尔中值定理的条件，于是存在ξ∈(x₀，1)[*](0，1)，使得F′(ξ)=0，即(1+ξ²)arctanξ·f′(ξ)=－1．

解析

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考研数学一

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