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(2002年)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数,且f(0)≠0,f′(0)≠0,若af(h)+bf(2h)一f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值。
(2002年)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数,且f(0)≠0,f′(0)≠0,若af(h)+bf(2h)一f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值。
admin
2018-03-11
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问题
(2002年)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数,且f(0)≠0,f′(0)≠0,若af(h)+bf(2h)一f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值。
选项
答案
方法一:由题设条件知 [*] 由于f(0)≠0,所以a+b一1=0。又由洛必达法则, [*] 由于af(h)+bf(2h)一f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小,由高阶无穷小的定义知上式等于0,又由f′(0)≠0,得a+2b=0。 解方程组[*]得a=2,b=一1。 方法二:分别将f(h),f(2h)按带佩亚诺余项的泰勒公式展开到o(h),有 f(h)=f(0)+f′(0)h+o(h),f(2h)=f(0)+2f′(0)h+o(h), 从而 af(h)+bf(2h)一f(0)=(a+b一1)f(0)+(a+2b)f′(0)h+o(h)。 由题设条件知,a+b一1=0,a+2b=0,所以a=2,b=一1。 方法三:由题设条件,有 [*] 由于f(0)≠0,所以a+b一1=0。再将a=1一b代入[*]凑成导数定义形式,有 [*] 从而a=2,b=-1。
解析
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考研数学一
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