2. 考研
  3. (2002年)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0，f′(0)≠0，若af(h)+bf(2h)一f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a，b的值。

(2002年)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0，f′(0)≠0，若af(h)+bf(2h)一f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a，b的值。

admin2018-03-11  56
问题 (2002年)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0，f′(0)≠0，若af(h)+bf(2h)一f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a，b的值。
选项
答案方法一：由题设条件知 [*] 由于f(0)≠0，所以a+b一1=0。又由洛必达法则， [*] 由于af(h)+bf(2h)一f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，由高阶无穷小的定义知上式等于0，又由f′(0)≠0，得a+2b=0。 解方程组[*]得a=2，b=一1。 方法二：分别将f(h)，f(2h)按带佩亚诺余项的泰勒公式展开到o(h)，有 f(h)=f(0)+f′(0)h+o(h)，f(2h)=f(0)+2f′(0)h+o(h)， 从而 af(h)+bf(2h)一f(0)=(a+b一1)f(0)+(a+2b)f′(0)h+o(h)。 由题设条件知，a+b一1=0，a+2b=0，所以a=2，b=一1。 方法三：由题设条件，有 [*] 由于f(0)≠0，所以a+b一1=0。再将a=1一b代入[*]凑成导数定义形式，有 [*] 从而a=2，b=－1。
解析
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考研数学一

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