2. 考研
  3. 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则 (1)若A可逆，则B可逆； (2)若B可逆，则A+B可逆； (3)若A+B可逆，则AB可逆； (4)A-E恒可逆． 上述命题中，正确的命题共有( )

设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则 (1)若A可逆，则B可逆； (2)若B可逆，则A+B可逆； (3)若A+B可逆，则AB可逆； (4)A-E恒可逆． 上述命题中，正确的命题共有( )

admin2019-07-12  36
问题 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则
(1)若A可逆，则B可逆；    (2)若B可逆，则A+B可逆；
(3)若A+B可逆，则AB可逆；    (4)A-E恒可逆．
上述命题中，正确的命题共有(    )
选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
答案D
解析 由AB=A+B，有(A-E)B=A．若A可逆，则
    ｜(A-E)B=｜｜｜A-E｜×｜B｜=｜A｜≠0，
  知｜B｜≠0．即矩阵曰可逆，从而命题(1)正确．
    应用命题(1)，由曰可逆可得出A可逆，从而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故命题(2)正确．
    因为AB=A+B，若A+B可逆，则有AB可逆，即命题(3)正确．
    对于命题(4)，用分组因式分解，即
    AB-A-B+E=E，则有(A-E)(B-E)=E，
  所以得A-E恒可逆，命题(4)正确．
    所以应选D．
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考研数学三

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