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[2011年] 设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX的秩为1,A的各行元素之和为3,则f在正交变换X=QY下的标准形为_________.
[2011年] 设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX的秩为1,A的各行元素之和为3,则f在正交变换X=QY下的标准形为_________.
admin
2021-01-25
27
问题
[2011年] 设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX的秩为1,A的各行元素之和为3,则f在正交变换X=QY下的标准形为_________.
选项
答案
[*]
解析
因秩(A)=1,且A为实对称矩阵,可对角化,由命题2.5.4.1(2)知A的特征值只有一个非零,有两个为零.又A的各行元素之和为3,故A的一个非零特征值为3(见命题2.5.1.4或由A[1,1,1]
T
=3[1,1,1]
T
也可看出),所以在正交变换X=QY下的标准形为
注:命题2.5.4.1 (2)若A为n阶实对称矩阵,则秩(A)等于A的非零特征值的个数(k重特征值视为k个特征值),因而零特征值的个数等于n-秩(A).
命题2.5.1.4 设n阶矩阵A的各行元素之和为a,则a为A的一个特征值,且A的属于特征值a的一个特征向量为[1,1,…,1]
T
.
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考研数学三
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