设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=x12+ax22+3x32一4x1x2—8x1x3—4x2x3，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值． (Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)如果A*+kE是正定矩阵，求k的取值范围．

admin2016-01-22 37

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=x₁²+ax₂²+3x₃²一4x₁x₂—8x₁x₃—4x₂x₃，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值．
(Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换；
(Ⅱ)如果A^*+kE是正定矩阵，求k的取值范围．

选项

答案[*] (Ⅱ)|A|=7×7×(一2)=一98．所以A^*的特征值为一14，一14，49．从而A^*+kE的特征值为k一14，k一14．k+49．因此k＞14时，A^*+kE正定．

解析

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考研数学一

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