设矩阵 (Ⅰ)已知A的一个特征值为3，试求y； (Ⅱ)求矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．

admin2022-01-17 54

问题设矩阵

(Ⅰ)已知A的一个特征值为3，试求y；
(Ⅱ)求矩阵P，使(AP)^T(AP)为对角矩阵．

选项

答案(Ⅰ)因为｜λE-A｜=[*]=(λ²-1)[λ²-(y+2)λ+2y-1=0．当λ=3时，代入上式解得y=2．于是A=[*] (II)由A^T=A，得(AP)^T(AP)=p^TA²P，而矩阵A²=[*] 考虑二次型x^TA²x=x₁²+x₂²+5x₃²+5x₄²+8x₃₄=x₁²+x₂²+[*] 令y₁=x₁，y₂=x₂，y₃=x₃+(4/5)x₄，y₄=x₄，得[*] 取P=[*]，则有(AP)^T(AP)=[*]

解析

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