设矩阵 (Ⅰ)已知A的一个特征值为3,试求y; (Ⅱ)求矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.

admin2022-01-17  36

问题 设矩阵
(Ⅰ)已知A的一个特征值为3,试求y;
(Ⅱ)求矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.

选项

答案(Ⅰ)因为|λE-A|=[*]=(λ2-1)[λ2-(y+2)λ+2y-1=0. 当λ=3时,代入上式解得y=2.于是A=[*] (II)由AT=A,得(AP)T(AP)=pTA2P,而矩阵A2=[*] 考虑二次型xTA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x34=x12+x22+[*] 令y1=x1,y2=x2,y3=x3+(4/5)x4,y4=x4,得[*] 取P=[*],则有(AP)T(AP)=[*]

解析
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