(10年)设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y′+p(χ)y=q(χ)的两个特解,若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,则 【 】

admin2021-01-25  45

问题 (10年)设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y′+p(χ)y=q(χ)的两个特解,若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,则    【    】

选项 A、
B、
C、
D、

答案A

解析 由于λy1+μy2为方程y′+p(χ)y=q(χ)的解,则
    (λy1+μy2)′+p(χ)(λy1+μy2)=q(χ)
    即2(y′1+p(χ)y1)+μ(y′2+p(χ)y2)=q(χ)
    λq(χ)+μq(χ)=q(χ)
    λ+μ=1    (1)
    由于λy1-μy2为方程y′+p(χ)y=0的解,则
    (λy1-μy2)+p(χ)(λy1-μy2)=0
    λ(y′1+p(χ)y1)-μ(y′2+p(χ)y2)=0
    λq(χ)-μq(χ)=0
    λ-μ=0    (2)
    由(1)式和(2)式解得λ=μ=
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