2. 考研
  3. [2003年] 设n维向量α=[a，0，…，0，a]T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵 A=E－ααT，B=E+(1／a)ααT， 其中A的逆矩阵为B，则a=____________．

[2003年] 设n维向量α=[a，0，…，0，a]T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵 A=E－ααT，B=E+(1／a)ααT， 其中A的逆矩阵为B，则a=____________．

admin2019-04-28  55
问题 [2003年]  设n维向量α=[a，0，…，0，a]T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵
           A=E－ααT，B=E+(1／a)ααT，
其中A的逆矩阵为B，则a=____________．
选项
答案－1
解析 解一  由题设有A－1=B，故AB=E，注意到αTα=2a2(是一个数)，有
      E=AB－(E－ααT)[E+(1／a)ααT]=E+(1／a)ααT－ααT－(1／a)α(αTα)αT
       =E+[1／a－1－(1／a)·2a2]ααT=E+(1／a－1－2a)ααT，
故(1／a－1－2a)ααT=O．因ααT≠O，所以1／a－1－2a=0，即(2a－1)(a+1)=0．因而a=1／2或a=－1．因a＜0，故a=－1．
    解二    因(E－A)2=(ααT)2=ααTααT=(αTα)ααT=2a2ααT=2a2(E－A)，
即    A2－2A+2a2A=2a2E－E，  亦即  A[A－(2－2a2)E]=(2a2－1)E，
故A可逆，且由题设有故
         
整理得到
      
而ααT≠O，故(a+1)(2a－1)=0，又因a＜0，故a=-1．
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考研数学三

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