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  3. 求I=，其中∑为上半球z=的上侧，a＞0为常数．

求I=，其中∑为上半球z=的上侧，a＞0为常数．

admin2016-10-26  69
问题 求I=，其中∑为上半球z=的上侧，a＞0为常数．
选项
答案添加一块有向曲面S：z=0 (x2+y2≤a2)，法向量朝下，S与∑所围区域为Ω(见图10．8)，则由高斯公式得 [*] [*] (这里Ω边界取外法向，S在xy平面上投影区域D：x2+y2≤a2=0，S与yz平面，zx平面均垂直，[*]Qdzdx=0)． 因 [*] 所以 I=[*]πa4．
解析 首先(x，y，z)∈∑，x2+y2+z2=a2，被积函数简化为

于是    I=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy．
直接化第二类曲面积分为二重积分，再化为定积分的公式稍微复杂些．这里

相对于半球域来说较简单，若用高斯公式求曲面积分，则较为简单．因为∑不是封闭曲面，所以要添加辅助曲面．
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考研数学一

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