求I=，其中∑为上半球z=的上侧，a＞0为常数．

admin2016-10-26 52

问题求I=

，其中∑为上半球z=

的上侧，a＞0为常数．

选项

答案添加一块有向曲面S：z=0 (x²+y²≤a²)，法向量朝下，S与∑所围区域为Ω(见图10．8)，则由高斯公式得 [*] [*] (这里Ω边界取外法向，S在xy平面上投影区域D：x²+y²≤a²=0，S与yz平面，zx平面均垂直，[*]Qdzdx=0)．因 [*] 所以 I=[*]πa⁴．

解析首先(x，y，z)∈∑，x²+y²+z²=a²，被积函数简化为

于是 I=

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy．
直接化第二类曲面积分为二重积分，再化为定积分的公式稍微复杂些．这里

相对于半球域来说较简单，若用高斯公式求曲面积分，则较为简单．因为∑不是封闭曲面，所以要添加辅助曲面．

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