2. 考研
  3. 设y=f(x)在[0，+∞)上有连续的导数，f(x)的值域为[0，+∞)，且f’(x)＞0，f(0)=0．又x=φ(y)为y=f(x)的反函数，对于常数a＞0，b＞0，试证明：

设y=f(x)在[0，+∞)上有连续的导数，f(x)的值域为[0，+∞)，且f’(x)＞0，f(0)=0．又x=φ(y)为y=f(x)的反函数，对于常数a＞0，b＞0，试证明：

admin2019-02-20  79
问题 设y=f(x)在[0，+∞)上有连续的导数，f(x)的值域为[0，+∞)，且f’(x)＞0，f(0)=0．又x=φ(y)为y=f(x)的反函数，对于常数a＞0，b＞0，试证明：
         
选项
答案【证法一】 设[*]则g’(a)=f(a)－b．令g’(a)=0，得b=f(a)，即a=φ(b)．当0＜a＜φ(b)时，由f’(x)＞0有f(a)＜f[φ(b)]=b，从而知g’(a)＜0；当0＜φ(b)＜a时有f[φ(b)]=b＜f(a)，从而知g’(a)＞0，所以g[φ(b)]为最小值，即 [*] 由于 (g[φ(b)])’b=f[φ(b)]φ’(b)+φ(b)－φ(b)－φ’(b)b =bφ’(b)+φ(b)－φ(b)－φ’(b)b≡0， 又 [*] 所以g[φ(b)]≡0，从而有 [*] 【证法二】 对积分[*]用变量替换后再分部积分，有 [*] 若a＞φ(b)，如图3．14－(1)，则当a＞x＞φ(b)时f(a)＞f(x)＞f[φ(b)]=b，推知 [*] 若a＜φ(b)，如图3．14－(2)，则当a＜x＜φ(b)时f(a)＜f(x)＜f[φ(b)]=b，推知 [*] 若a=φ(b)，如图3．14－(3)，则[*] [*]
解析
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考研数学三

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