设y=f(x)在[0,+∞)上有连续的导数,f(x)的值域为[0,+∞),且f’(x)>0,f(0)=0.又x=φ(y)为y=f(x)的反函数,对于常数a>0,b>0,试证明:

admin2019-02-20  28

问题 设y=f(x)在[0,+∞)上有连续的导数,f(x)的值域为[0,+∞),且f’(x)>0,f(0)=0.又x=φ(y)为y=f(x)的反函数,对于常数a>0,b>0,试证明:
         

选项

答案【证法一】 设[*]则g’(a)=f(a)-b.令g’(a)=0,得b=f(a),即a=φ(b).当0<a<φ(b)时,由f’(x)>0有f(a)<f[φ(b)]=b,从而知g’(a)<0;当0<φ(b)<a时有f[φ(b)]=b<f(a),从而知g’(a)>0,所以g[φ(b)]为最小值,即 [*] 由于 (g[φ(b)])’b=f[φ(b)]φ’(b)+φ(b)-φ(b)-φ’(b)b =bφ’(b)+φ(b)-φ(b)-φ’(b)b≡0, 又 [*] 所以g[φ(b)]≡0,从而有 [*] 【证法二】 对积分[*]用变量替换后再分部积分,有 [*] 若a>φ(b),如图3.14-(1),则当a>x>φ(b)时f(a)>f(x)>f[φ(b)]=b,推知 [*] 若a<φ(b),如图3.14-(2),则当a<x<φ(b)时f(a)<f(x)<f[φ(b)]=b,推知 [*] 若a=φ(b),如图3.14-(3),则[*] [*]

解析
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