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设有两个n元齐次线性方程组Ax=0及Bx=0,证明: (1)若Ax=0的解都是Bx=0的解,则r(A)≥r(B). (2)若Ax=0与Bx=0同解,则r(A)=r(B).
设有两个n元齐次线性方程组Ax=0及Bx=0,证明: (1)若Ax=0的解都是Bx=0的解,则r(A)≥r(B). (2)若Ax=0与Bx=0同解,则r(A)=r(B).
admin
2017-07-26
85
问题
设有两个n元齐次线性方程组Ax=0及Bx=0,证明:
(1)若Ax=0的解都是Bx=0的解,则r(A)≥r(B).
(2)若Ax=0与Bx=0同解,则r(A)=r(B).
选项
答案
(1)由条件知Ax=0的解空间是Bx=0的解空间的子空间,因此,Ax=0的解空间的维数不大于Bx=0的解空间的维数,即n一r(A)≤n一r(B),于是得r(A)≥r(B). (2)由条件知Ax=0的解空间与Bx=0的解空间为同一空间,因而该空间的维数为 n一r(A)=n一r(B),由此即得r(A)=r(B).
解析
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考研数学三
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