设二次型 f=x12+x22+x32+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3 经正交变换x=Py化成f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β

admin2019-12-26 28

问题设二次型
f=x₁²+x₂²+x₃²+2αx₁x₂+2βx₂x₃+2x₁x₃
经正交变换x=Py化成f=y₂²+2y₃²，其中x=(x₁，x₂，x₃)^T和y=(y₁，y₂，y₃)^T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵．试求常数α，β.

选项

答案二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵为 [*] 因为P为正交矩阵，所以 [*] 即A与B相似，故A与B有相同的特征值λ₁=0，λ₂=1，λ₃=2，这些特征值满足|λE-A|=0．当λ₁=0，则 [*] 当λ₂=1，则 [*] 由式(1)和(2)，可求得α=β=0．

解析

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