设二次型 f=x12+x22+x32+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3 经正交变换x=Py化成f=y22+2y32,其中x=(x1,x2,x3)T和y=(y1,y2,y3)T都是3维列向量,P是3阶正交矩阵.试求常数α,β

admin2019-12-26  27

问题 设二次型
              f=x12+x22+x32+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3
经正交变换x=Py化成f=y22+2y32,其中x=(x1,x2,x3)T和y=(y1,y2,y3)T都是3维列向量,P是3阶正交矩阵.试求常数α,β.

选项

答案二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为 [*] 因为P为正交矩阵,所以 [*] 即A与B相似,故A与B有相同的特征值λ1=0,λ2=1,λ3=2,这些特征值满足|λE-A|=0. 当λ1=0,则 [*] 当λ2=1,则 [*] 由式(1)和(2),可求得α=β=0.

解析
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