已知α1，α2都是3阶矩阵A的特征向量．特征值分别为－1和1，又3维向量α3满足Aα3＝α2＋α3．证明α1，α2，α3线性无关．

admin2019-07-22 61

问题已知α₁，α₂都是3阶矩阵A的特征向量．特征值分别为－1和1，又3维向量α₃满足Aα₃＝α₂＋α₃．证明α₁，α₂，α₃线性无关．

选项

答案根据特征向量的性质，α₁，α₂都是A的特征向量，特征值不相等，于是它们是线性无关的．用反证法．如果α₃可用α₁，α₂表示，设α₃＝c₁α₁＋c₂α₂，用A左乘等式两边之，得 α₂＋α₃＝c₁α₁＋c₂α₂，减去原式得 α₂＝－2c₁α₁，与α₁，α₂线性无关矛盾，说明α₃不可用α₁，α₂线性表示．

解析

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考研数学二

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求
设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．
设线性相关，则a＝_______．
设f(χ)为可导函数，F(χ)为其原函数，则()．
求如dy，其中D是由L：(0≤t≤2π)与χ轴围成的区域．
证明：当0＜χ＜1时，(1＋χ)ln2(1＋χ)＜χ2．
证明不等式：χarctanχ≥ln(1＋χ2)．
设A为n阶矩阵，A2=A，则下列成立的是()．
将极坐标变换后的二重积分f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ的如下累次积分交换积分顺序：其中F(r，θ)=f(rcosθ，rsinθ)r．
设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．

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