设A是n阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数a，证明：(1)a≠0；(2)A-1的每行元素之和均为．

admin2019-07-22 53

问题设A是n阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数a，证明：(1)a≠0；(2)A^-1的每行元素之和均为

．

选项

答案(1)将A中各列加到第一列，得 [*] 若a=0，则|A|=0，这与A是可逆阵矛盾，故a≠0． (2)令A=[α₁，α₂，…，α_n]，A^-1=[β₁，β₂，…，β_n]，E=[e₁，e₂，…，e_n]，由A^-1A=E，得 A^-1[α₁，α₂，…，α_n]=[e₁，e₂，…，e_n]， A^-1α_j=e_j，j=1，…，n， A^-1α₁+A^-1α₂+…+A^-1α_n=e₁+e₂+…+e_n， [*] 比较以上两式，得证 [*] 得证A^-1的每行元素之和为[*]

解析

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