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用配方法化下列二次型为标准型 (1)f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3． (2)f(x1，x2，x3)=x1x2+x1x3+x2x3．
用配方法化下列二次型为标准型 (1)f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3． (2)f(x1，x2，x3)=x1x2+x1x3+x2x3．
admin
2018-06-27
21
问题
用配方法化下列二次型为标准型
(1)f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+2x
2
2
+2x
1
x
2
-2x
1
x
3
+2x
2
x
3
．
(2)f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
x
2
+x
1
x
3
+x
2
x
3
．
选项
答案
(1)f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+2x
2
2
+2x
1
x
2
-2x
1
x
3
+2x
2
x
3
=[x
1
2
+2x
1
x
2
-2x
1
x
3
+(x
2
-x
3
)
2
]-(x
2
-x
3
)
2
+2x
2
2
+2x
2
x
3
=(x
1
+x
2
-x
3
)
2
+x
2
2
+4x
2
x
3
-x
3
2
=(x
1
+x
2
-x
3
)
2
+x
2
2
+4x
2
x
3
+4x
3
2
-5x
3
2
=(x
1
+x
2
-x
3
)
2
+(x
2
+2x
3
)
2
-5x
3
2
. 令 [*] 原二次型化为f(x
1
，x
2
，x
3
)=y
1
2
+y
2
2
-5y
3
2
． 从上面的公式反解得变换公式： [*] 变换矩阵 [*] (2)这个二次型没有平方项，先作一次变换 [*] f(x
1
，x
2
，y
3
)=y
1
2
-y
2
2
+2y
1
y
3
． 虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了：． y
1
2
-y
2
2
+2y
1
y
3
=(y
1
+y
3
)
2
-y
2
2
-y
3
2
． 令 [*] 即 [*] 则f(x
1
，x
2
，x
3
)=z
1
2
-z
2
2
-z
3
2
． 变换公式为 [*] 变换矩阵 [*]
解析
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考研数学二
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