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  3. [2006年] 已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解． (I)证明方程组系数矩阵A的秩(A)=2；(Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解．

[2006年] 已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解． (I)证明方程组系数矩阵A的秩(A)=2；(Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解．

admin2019-05-10  109
问题 [2006年]  已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．
(I)证明方程组系数矩阵A的秩(A)=2；(Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解．
选项
答案 由非齐次线性方程组AX=b中线性无关的解得到相应的齐次线性方程组的线性无关的解，从而得到系数矩阵的秩的信息，再利用秩的定义可证(I)． 利用(I)的结果即可求得a，b，进而可求解方程组． (I)证一 由题设有n一秩(A)+1≥3，即5一秩(A)≥3，故秩(A)≤2．又A中有一个二阶子式Δ2=[*]≠0，于是秩(A)≥2．综上所述，可知秩(A)=2． 证二 设α1，α2，α3为所给方程组AX=b的3个线性无关的解，则α1一α2，α2一α3为对应的齐次方程AX=0的两个线性无关的解，因而n一秩(A)≥2，即4一秩(A)≥2，故秩(A)≤2．又Δ2≠0，故秩(A)≥2，所以秩(A)=2． (Ⅱ)对增广矩阵施以初等行变换，有 [*] 因秩(A)=2，故4—2a=0，4a+b—5=0，联立两方程解得a=2，b=一3，此时有 [*] 由基础解系和特解的简便求法即得基础解系为α1=[一2，1，1，0]T，α2=[4，一5，0，1]T， 特解η=[2，一3，0，0]T，故其通解为x=k1α1+k2α2+η，其中k1，k2为任意常数．
解析
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考研数学二

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