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设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积值为2,求函数y=f(x),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积值为2,求函数y=f(x),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.
admin
2019-04-17
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问题
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足
(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积值为2,求函数y=f(x),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.
选项
答案
因为[*],当x≠0时,[*],求积分得[*],又f(x)在点x=0连续,所以 [*]。 于是,[*], 得 C=4-a. 因此旋转体的体积 [*] 令[*],得 a=5. 又[*],故a=-5时,旋转体的体积最小.
解析
[分析] 先由微分方程
求得f(x)关于参数a及任意常数C的函数,再由S的面积值为2,定出a与C的关系式,利用旋转体的体积公式求出体积函数V(a),最后对体积V(a)求最值.
[评注] 本题综合考查了定积分的几何应用、微分方程的求解和函数的极值,应注意对问题进行分解,从而简化运算.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/VJV4777K
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考研数学二
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