2. 考研
  3. 设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并满足(a为常数)，又曲线y＝f(x)与x＝1，y＝0所围的图形S的面积值为2，求函数y＝f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并满足(a为常数)，又曲线y＝f(x)与x＝1，y＝0所围的图形S的面积值为2，求函数y＝f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

admin2019-04-17  95
问题 设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并满足(a为常数)，又曲线y＝f(x)与x＝1，y＝0所围的图形S的面积值为2，求函数y＝f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．
选项
答案因为[*]，当x≠0时，[*]，求积分得[*]，又f(x)在点x＝0连续，所以 [*]。 于是，[*]， 得 C＝4－a． 因此旋转体的体积 [*] 令[*]，得 a＝5． 又[*]，故a＝－5时，旋转体的体积最小．
解析 [分析]  先由微分方程求得f(x)关于参数a及任意常数C的函数，再由S的面积值为2，定出a与C的关系式，利用旋转体的体积公式求出体积函数V(a)，最后对体积V(a)求最值．
[评注]  本题综合考查了定积分的几何应用、微分方程的求解和函数的极值，应注意对问题进行分解，从而简化运算．
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考研数学二

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