[2015年] 设函数f(x)=x+a ln(1+x)+bx sinx,g(x)=kx3,若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小,求a,b,k的值.

admin2019-04-05  64

问题 [2015年]  设函数f(x)=x+a ln(1+x)+bx sinx,g(x)=kx3,若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小,求a,b,k的值.

选项

答案 考虑到g(x)=kx3为x的三阶无穷小,可将f(x)展为三阶无穷小,求其待定常数,即将ln(1+x)及sinx分别展为 ln(1+x)=x一[*]+o(x3),即x—ln(1+x)一[*](x→0); sinx=x-[*]+0(x3), 即x—sinx~[*](x→0). 将[*]转化为求x→0时有理多项式的极限. 解一 将ln(1+x)及sinx的上述麦克劳林级数展开式代入f(x)得到 f(x)=x+a[x一[*]+o(x3)]+bx[x一[*]+o(x3)] =x+ax一[*]+a·o(x3)+bx2一[*]+b·o(x4) =x+ax一[*]+a·o(x3)+bx2 =(1+a)x+(b一[*])x2+[*]+o(x3). 由[*]=1,得到 1+a=0, b一[*]=0.[*]=1. 解之即得 a=—1.b=—[*].k=—[*] 解二 也可直接利用下述等价无穷小: x一ln(1+x)一[*](x→0)或ln(1+x)一x+[*](x→0), x-sinx~[*](x-0)求之.为此将f(x)恒等变形为 f(x)一x+a[1n(1+x)一x+[*]]-bx[x-sinx-x] 则[*] 故[*]=1, l+a=0, b一[*]=0. 即 a=一1. [*]

解析
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