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[2002年] 设0<a<b,证明不等式.
[2002年] 设0<a<b,证明不等式.
admin
2019-04-05
60
问题
[2002年] 设0<a<b,证明不等式
.
选项
答案
对于连不等式,一般可分为两个不等式分别证之.可用拉格朗日中值定理证之,也可构造辅助函数证之. 证一 用拉格朗日中值定理证之.为此设函数f(x)=lnx(x>a>0),由拉格朗日中值定理知,至少存在一点∈(a,b),使 [*] 由于0<a<ξ<b,故[*],从而[*]右边不等式的证明请读者完成. 证二 先证右边不等式.设辅助函数证之.为此将其变形为lnb—lna<[*],令b=a,两端化为0,因而可令b=x,构造辅助函数. 设φ(x)=lnx—lna一(x一a)/[*](x>a>0),用函数的单调性证之.因为 φ′(x)=[*]<0, 故当x>a时,φ(x)单调减少.又φ(a)=0,所以,当x>a时,φ(x)<φ(a)=0,即 lnx一lna<(x—a)/[*] 从而当b>a>0时,lnb—lna<(b一a)/[*] 再证左边不等式.用辅助函数法证之.设f(x)=(x
2
+a
2
)(lnx—lna)-2a(x一a)(x>a>0). 因为 f′(x)=2x(lnx—lna)+(x
2
+a
2
)/x一2a=2x(lnx一lna)+(x-a)
2
/x>0, 故当x>a时,f(x)单调增加,又f(a)=0,所以当x>a时,f(x)>f(a)=0,即 (x
2
+a
2
)(lnx—lna)一2a(x一a)>0, 从而当b>a>0时,有 (a
2
+b
2
)(lnb—lna)一2a(b一a)>0, 即[*]
解析
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考研数学二
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