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[2002年] 设0＜a＜b，证明不等式.

admin2019-04-05  56
问题 [2002年]  设0＜a＜b，证明不等式.
选项
答案 对于连不等式，一般可分为两个不等式分别证之．可用拉格朗日中值定理证之，也可构造辅助函数证之． 证一 用拉格朗日中值定理证之．为此设函数f(x)=lnx(x＞a＞0)，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点∈(a，b)，使 [*] 由于0＜a＜ξ＜b，故[*]，从而[*]右边不等式的证明请读者完成． 证二 先证右边不等式．设辅助函数证之．为此将其变形为lnb—lna＜[*]，令b=a，两端化为0，因而可令b=x，构造辅助函数． 设φ(x)=lnx—lna一(x一a)／[*](x＞a＞0)，用函数的单调性证之．因为 φ′(x)=[*]＜0， 故当x＞a时，φ(x)单调减少．又φ(a)=0，所以，当x＞a时，φ(x)＜φ(a)=0，即 lnx一lna＜(x—a)／[*] 从而当b＞a＞0时，lnb—lna＜(b一a)／[*] 再证左边不等式．用辅助函数法证之．设f(x)=(x2+a2)(lnx—lna)－2a(x一a)(x＞a＞0)． 因为 f′(x)=2x(lnx—lna)+(x2+a2)／x一2a=2x(lnx一lna)+(x－a)2／x＞0， 故当x＞a时，f(x)单调增加，又f(a)=0，所以当x＞a时，f(x)＞f(a)=0，即 (x2+a2)(lnx—lna)一2a(x一a)＞0， 从而当b＞a＞0时，有 (a2+b2)(lnb—lna)一2a(b一a)＞0， 即[*]
解析
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考研数学二

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