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[2011年] 设函数f(x)=(λ>0),则∫-∞+∞xf(x)dx=_________.
[2011年] 设函数f(x)=(λ>0),则∫-∞+∞xf(x)dx=_________.
admin
2021-01-19
68
问题
[2011年] 设函数f(x)=
(λ>0),则∫
-∞
+∞
xf(x)dx=_________.
选项
答案
利用无穷限反常积分的定义或用分部积分法求之. 解一 因∫
-∞
+∞
xf(x)dx=∫
-∞
0
x·0dx+∫
0
+∞
x·λe
-λx
dx,显然右边第一个反常积分收敛, 而第二个反常积分易求得,即 ∫
0
+∞
λxe
-λx
dx=[*]∫
0
+∞
(λx)e
-λx
d(λx)=[*], 故它必收敛.由定义1.3.4.1知,原反常积分收敛,且其值为1/λ(λ>0). 解二 利用分部积分法直接计算得到 ∫
-∞
+∞
xf(x)dx=∫
0
+∞
λxe
-λx
dx=一∫
0
+∞
xd(e
-λx
)=一(xe
-λx
)∣
0
+∞
+∫
0
+∞
e
-λx
dx. =一[*].
解析
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考研数学二
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