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  3. 设A为m×n矩阵，证明：非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是对齐次线性方程组ATy=0的任何解向量u均有UTb=u1b1+u2b2+…+umbm=0．

设A为m×n矩阵，证明：非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是对齐次线性方程组ATy=0的任何解向量u均有UTb=u1b1+u2b2+…+umbm=0．

admin2020-03-05  22
问题 设A为m×n矩阵，证明：非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是对齐次线性方程组ATy=0的任何解向量u均有UTb=u1b1+u2b2+…+umbm=0．
选项
答案必要性．把A按列分块为A=[α1，α2，…，αn]，其中αj(j=1，2，…，n)都是m维列向量，由于方程组Ax=b有解，所以存在向量[k1，k2，…，kn]T使 b=k1α1+k2α2，+…+knαn． 又因AT=[α1，α2，…，αn]T= [*] 故满足方程组 ATy=0的任何解向量u均有αjTu=0(j=1，2，…，n)．因此， uTb=bTu=k1α1Tu+k2α2Tu+…+knαnTu=0． 充分性．由于满足方程组ATy=0的任何解向量u均有uTb=bTu=0，所以u满足方程组 [*] 令r(A)=r，则，r(AT)=r．从而方程组ATy=0的基础解系含m－r个线性无关的解向量．因为满足方程组ATy=0的任何解向量u都满足方程组①，以及满足方程组①的任何解向量u必满足方程组ATy=0，所以方程组①与方程组ATy=0同解，故方程组①的解空间的维数为m－r，于是 [*] 因而r(A)=r[A｜b]=r，故非齐次线性方程组Ax=b有解．
解析
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考研数学一

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