设f(χ)在[0，1]上连续，且f(χ)＜1，证明：2χ－∫0χf(t)dt＝1在(0，1)有且仅有一个根．

admin2018-05-17 51

问题设f(χ)在[0，1]上连续，且f(χ)＜1，证明：2χ－∫₀^χf(t)dt＝1在(0，1)有且仅有一个根．

选项

答案令φ(χ)＝2χ－∫₀^χ－1，φ(0)＝－1，φ(1)＝1－∫₀¹f(t)dt，因为f(χ)＜1，所以∫₀¹f(t)dt＜1，从而φ(0)φ(1)＜0，由零点定理，存在c∈(0，1)，使得φ(c)＝0．因为φ′(χ)＝2－f(χ)＞0，所以φ(χ)在[0，1]上单调增加，故方程2χ－∫₀^χf(t)dt＝1有且仅有一个根．

解析

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考研数学二

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