2. 考研
  3. 设A为n阶矩阵． (1)已知β为n维非零列向量，若存在正整数k，使得Ak≠0，但Ak+1β=0，则向量组β，Aβ，A2β，…，Akβ线性无关； (2)证明：齐次线性方程组Anx=0与An+1x=0是同解线性方程组； (3)证明：r(

设A为n阶矩阵． (1)已知β为n维非零列向量，若存在正整数k，使得Ak≠0，但Ak+1β=0，则向量组β，Aβ，A2β，…，Akβ线性无关； (2)证明：齐次线性方程组Anx=0与An+1x=0是同解线性方程组； (3)证明：r(

admin2017-07-26  41
问题 设A为n阶矩阵．
    (1)已知β为n维非零列向量，若存在正整数k，使得Ak≠0，但Ak+1β=0，则向量组β，Aβ，A2β，…，Akβ线性无关；
    (2)证明：齐次线性方程组Anx=0与An+1x=0是同解线性方程组；
    (3)证明：r(An)=r(An+1)．
选项
答案(1)设 x0β+x1Aβ+x2A2β+…+xkAkβ=0，上式两边左乘矩阵Ak，由Ak+1β=0，Ak+2β=A(Ak+2β)=A．0=0，…，Ak+kβ=0，可得 Ak(x0oβ+x1β+x2A2β+…+xkAkβ)=x0Akβ=0， 而Akβ≠0，有x0=0． 同理，再在等式两边依次乘矩阵Ak—1，Ak—2，…，A2，A，可得x1=x2=…=xn=0， 故向量组β，Aβ，A2β，…，Akβ线性无关． (2)显然，线性方程组Anx=0的解必是线性方程组An+1x=0的解；反过来，若An+1x=0只有零解，则由行列式｜An+1｜=｜A｜n+1≠0，可得｜A｜≠0．因此｜An｜=｜A｜n≠0，故Anx=0也只有零解，即Anx=0与An+1x=0为同解方程组． 若An+1x=0有非零解，设存在β≠0使得An+1β=0，但β不是Anx=0的解，即Anβ≠0．则由(1)知β，Aβ，A2β，…，Akβ线性无关，且An+1β=0，An+1(Aβ)=A(An+1β)=0，…，An+1(Anβ)=0，即它们都是线性方程组An+1x=0的解，因此An+1x=0至少有n+1个线性无关的解，这与方程组An+1x=0的基础解系至多有n个线性无关解矛盾，所以An+1x=0的解都是Anx=0的解，即Anx=0与An+1x=0为同解方程组． (3)由(2)知Anx=0与An+1x=0为同解方程组，故 n一r(An)=n一r(An+1)， 即r(An)=r(An+1)．
解析
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考研数学三

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