首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A为n阶矩阵． (1)已知β为n维非零列向量，若存在正整数k，使得Ak≠0，但Ak+1β=0，则向量组β，Aβ，A2β，…，Akβ线性无关； (2)证明：齐次线性方程组Anx=0与An+1x=0是同解线性方程组； (3)证明：r(
设A为n阶矩阵． (1)已知β为n维非零列向量，若存在正整数k，使得Ak≠0，但Ak+1β=0，则向量组β，Aβ，A2β，…，Akβ线性无关； (2)证明：齐次线性方程组Anx=0与An+1x=0是同解线性方程组； (3)证明：r(
admin
2017-07-26
44
问题
设A为n阶矩阵．
(1)已知β为n维非零列向量，若存在正整数k，使得A
k
≠0，但A
k+1
β=0，则向量组β，Aβ，A
2
β，…，A
k
β线性无关；
(2)证明：齐次线性方程组A
n
x=0与A
n+1
x=0是同解线性方程组；
(3)证明：r(A
n
)=r(A
n+1
)．
选项
答案
(1)设 x
0
β+x
1
Aβ+x
2
A
2
β+…+x
k
A
k
β=0，上式两边左乘矩阵A
k
，由A
k+1
β=0，A
k+2
β=A(A
k+2
β)=A．0=0，…，A
k+k
β=0，可得 A
k
(x
0
oβ+x
1
β+x
2
A
2
β+…+x
k
A
k
β)=x
0
A
k
β=0， 而A
k
β≠0，有x
0
=0． 同理，再在等式两边依次乘矩阵A
k—1
，A
k—2
，…，A
2
，A，可得x
1
=x
2
=…=x
n
=0， 故向量组β，Aβ，A
2
β，…，A
k
β线性无关． (2)显然，线性方程组A
n
x=0的解必是线性方程组A
n+1
x=0的解；反过来，若A
n+1
x=0只有零解，则由行列式｜A
n+1
｜=｜A｜
n+1
≠0，可得｜A｜≠0．因此｜A
n
｜=｜A｜
n
≠0，故A
n
x=0也只有零解，即A
n
x=0与A
n+1
x=0为同解方程组． 若A
n+1
x=0有非零解，设存在β≠0使得A
n+1
β=0，但β不是A
n
x=0的解，即A
n
β≠0．则由(1)知β，Aβ，A
2
β，…，A
k
β线性无关，且A
n+1
β=0，A
n+1
(Aβ)=A(A
n+1
β)=0，…，A
n+1
(A
n
β)=0，即它们都是线性方程组A
n+1
x=0的解，因此A
n+1
x=0至少有n+1个线性无关的解，这与方程组A
n+1
x=0的基础解系至多有n个线性无关解矛盾，所以A
n+1
x=0的解都是A
n
x=0的解，即A
n
x=0与A
n+1
x=0为同解方程组． (3)由(2)知A
n
x=0与A
n+1
x=0为同解方程组，故 n一r(A
n
)=n一r(A
n+1
)， 即r(A
n
)=r(A
n+1
)．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/JgH4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
函数f(μ，ν)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则=_____________.
[*]
A、 B、 C、 D、 D
设y=sinx，0≤x≤π/2，t为_________时，图中阴影部分的面积S1与S2之和S最小?
二次型f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3的规范形为()．
向量组α1，α2，…,αm线性无关的充分必要条件是________．
设A是m×n阶矩阵，下列命题正确的是()．
x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=∫0xf(t)出，试证：f(x)=0(-∞＜x＜+∞)．
对于任意二事件A1，A2，考虑二随机变量试证明：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．
随机试题
导致继发性腹膜炎的细菌中，最多见的是
证券交易结算证券账户是投资者用于证券交易资金清算，记录资金的币种、余额和变动情况的专用账户。()
在采用差异化战略的组织中，人力资源管理的重点是()。
商店无人光顾，售货员无所事事所承受的压力来自于()。
教师在“食物链”教学时，引用“螳螂捕蝉，黄雀在后”的古诗词来反问学生这是一种什么生物现象，进而引入正题。这种导入方式是()。
群体效应是指个体形成群体之后，通过群体对个体约束和指导，群体中个体之间的作用，就会使群体中的一群人，在心理和行为上发生一系列的变化。根据上述定义，下列选项不属于群体效应的是()。
Themulti-billion-dollarWesternpopmusicindustryisunderfire.ItisbeingblamedbytheUnitedNationsforthedramaticris
设，则a＝_______．
设有选课表，表中包含字段有：学号N(6)，课程号C(6)，成绩N(4)。要查询每门课程的学生人数，要求显示课程号和学生人数，对应的SQL语句为：SELECT课程号,COUNT(学号)AS学生人数FROM选课表;GROUPBY______
以下数据结构中，属于非线性数据结构的是()。
最新回复
(
0
)
