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设A为n阶矩阵． (1)已知β为n维非零列向量，若存在正整数k，使得Ak≠0，但Ak+1β=0，则向量组β，Aβ，A2β，…，Akβ线性无关； (2)证明：齐次线性方程组Anx=0与An+1x=0是同解线性方程组； (3)证明：r(
设A为n阶矩阵． (1)已知β为n维非零列向量，若存在正整数k，使得Ak≠0，但Ak+1β=0，则向量组β，Aβ，A2β，…，Akβ线性无关； (2)证明：齐次线性方程组Anx=0与An+1x=0是同解线性方程组； (3)证明：r(
admin
2017-07-26
64
问题
设A为n阶矩阵．
(1)已知β为n维非零列向量，若存在正整数k，使得A
k
≠0，但A
k+1
β=0，则向量组β，Aβ，A
2
β，…，A
k
β线性无关；
(2)证明：齐次线性方程组A
n
x=0与A
n+1
x=0是同解线性方程组；
(3)证明：r(A
n
)=r(A
n+1
)．
选项
答案
(1)设 x
0
β+x
1
Aβ+x
2
A
2
β+…+x
k
A
k
β=0，上式两边左乘矩阵A
k
，由A
k+1
β=0，A
k+2
β=A(A
k+2
β)=A．0=0，…，A
k+k
β=0，可得 A
k
(x
0
oβ+x
1
β+x
2
A
2
β+…+x
k
A
k
β)=x
0
A
k
β=0， 而A
k
β≠0，有x
0
=0． 同理，再在等式两边依次乘矩阵A
k—1
，A
k—2
，…，A
2
，A，可得x
1
=x
2
=…=x
n
=0， 故向量组β，Aβ，A
2
β，…，A
k
β线性无关． (2)显然，线性方程组A
n
x=0的解必是线性方程组A
n+1
x=0的解；反过来，若A
n+1
x=0只有零解，则由行列式｜A
n+1
｜=｜A｜
n+1
≠0，可得｜A｜≠0．因此｜A
n
｜=｜A｜
n
≠0，故A
n
x=0也只有零解，即A
n
x=0与A
n+1
x=0为同解方程组． 若A
n+1
x=0有非零解，设存在β≠0使得A
n+1
β=0，但β不是A
n
x=0的解，即A
n
β≠0．则由(1)知β，Aβ，A
2
β，…，A
k
β线性无关，且A
n+1
β=0，A
n+1
(Aβ)=A(A
n+1
β)=0，…，A
n+1
(A
n
β)=0，即它们都是线性方程组A
n+1
x=0的解，因此A
n+1
x=0至少有n+1个线性无关的解，这与方程组A
n+1
x=0的基础解系至多有n个线性无关解矛盾，所以A
n+1
x=0的解都是A
n
x=0的解，即A
n
x=0与A
n+1
x=0为同解方程组． (3)由(2)知A
n
x=0与A
n+1
x=0为同解方程组，故 n一r(A
n
)=n一r(A
n+1
)， 即r(A
n
)=r(A
n+1
)．
解析
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考研数学三
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