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设f(x)在[a,b]二阶可导,f(x)>0,f’’(x)<0((x∈(a,b)),求证:∫abf(x)dx.
设f(x)在[a,b]二阶可导,f(x)>0,f’’(x)<0((x∈(a,b)),求证:∫abf(x)dx.
admin
2018-06-27
22
问题
设f(x)在[a,b]二阶可导,f(x)>0,f’’(x)<0((x∈(a,b)),求证:
∫
a
b
f(x)dx.
选项
答案
联系f(x)与f’’(x)的是泰勒公式. [*]x
0
∈[a,b],f(x
0
)=[*].将f(x
0
)在[*]∈[a,b]展开,有 f(x
0
)=f(x)+f’(x)(x
0
-x)+[*]f’’(ξ)(x
0
-x)
2
(ξ在x
0
与x之间)<f(x)+f’(x)(x
0
-x)([*]∈[a,b],x≠
0
). 两边在[a,b]上积分得 ∫
a
b
f(x
0
)dx<∫
a
b
f(x)dx+∫
a
b
f’(x)(x
0
-x)dx=∫
a
b
f(x)dx+f(x
0
-x)df(x) =∫
a
b
f(x)dx-(b-x
0
)f(b)-(x
0
-a)f(a)+∫
a
b
f(x)dx≤2∫
a
b
f(x)dx. 因此 f(x
0
)(b-a)<2∫
a
b
f(x)dx,即[*]=∫
a
b
f(x)dx.
解析
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0
考研数学二
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