2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]二阶可导，f(x)＞0，f’’(x)＜0((x∈(a，b))，求证：∫abf(x)dx．

设f(x)在[a，b]二阶可导，f(x)＞0，f’’(x)＜0((x∈(a，b))，求证：∫abf(x)dx．

admin2018-06-27  28
问题 设f(x)在[a，b]二阶可导，f(x)＞0，f’’(x)＜0((x∈(a，b))，求证：∫abf(x)dx．
选项
答案联系f(x)与f’’(x)的是泰勒公式． [*]x0∈[a，b]，f(x0)=[*].将f(x0)在[*]∈[a，b]展开，有 f(x0)=f(x)+f’(x)(x0-x)+[*]f’’(ξ)(x0-x)2(ξ在x0与x之间)＜f(x)+f’(x)(x0-x)([*]∈[a，b]，x≠0)． 两边在[a，b]上积分得 ∫abf(x0)dx＜∫abf(x)dx+∫abf’(x)(x0-x)dx=∫abf(x)dx+f(x0-x)df(x) =∫abf(x)dx-(b-x0)f(b)-(x0-a)f(a)+∫abf(x)dx≤2∫abf(x)dx. 因此 f(x0)(b-a)＜2∫abf(x)dx，即[*]=∫abf(x)dx．
解析
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考研数学二

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