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设f(x)是区间[0,+∞)上具有连续导数的单调增加函数,且f(0)=1。对任意的t∈[0,+∞),直线x=0,x=t,曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍,求函数f(x)的表达式。
设f(x)是区间[0,+∞)上具有连续导数的单调增加函数,且f(0)=1。对任意的t∈[0,+∞),直线x=0,x=t,曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍,求函数f(x)的表达式。
admin
2018-12-19
63
问题
设f(x)是区间[0,+∞)上具有连续导数的单调增加函数,且f(0)=1。对任意的t∈[0,+∞),直线x=0,x=t,曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍,求函数f(x)的表达式。
选项
答案
旋转体的体积公式 V=∫
0
t
f
2
(x)dx, 侧面积公式 S=2一π∫
0
t
f(x)[*], 根据已知 ∫
0
t
f
2
(x)dx=∫
0
t
f(x)[*]。 上式两端对t求导得 [*] 即 [*] 由分离变量法解得 [*] 将y(0)=1代入,知C=1,故 [*] 因此,所求函数为 y=f(x)=[*](e
x
+e
—x
)。
解析
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考研数学二
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