(1998年)设y=f(χ)是区间[0,1]上任一非负连续函数. (1)试证存在χ0∈(0,1),使得在区间在区间[0,χ0]上以f(χ0)为高的矩形的面积等于在区间[χ0,1]上以y=f(χ)为曲面的曲边梯形的面积. (2)又设f(χ)在

admin2016-05-30  57

问题 (1998年)设y=f(χ)是区间[0,1]上任一非负连续函数.
    (1)试证存在χ0∈(0,1),使得在区间在区间[0,χ0]上以f(χ0)为高的矩形的面积等于在区间[χ0,1]上以y=f(χ)为曲面的曲边梯形的面积.
    (2)又设f(χ)在(0,1)上可导,且f′(χ)>,证明(1)中的χ0是唯一的.

选项

答案令φ(χ)=-χ∫χ1f(t)dt,则φ(χ)在[0,1]上满足罗尔定理的条件,则存在χ0∈(0,1),使φ′(χ0)=0,即 χ0f(χ0)-[*]f(t)dt=0 又φ〞(χ)=χf′(χ)+2f(χ)>0,则上式中的χ0是唯一的.

解析
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